Colégio Estadual Princeza Izabel - Taquaral de Goiás-G0 16/04/2021
Aluna(o): ___________________________________________________
Professor: Lucas Eugênio
Observação: Este material o aluno não precisa
devolver na escola, pois será um suporte para responder o simulado de
recuperação. Conteúdo para os aulão.
O que são múltiplos?
Os múltiplos de
um número inteiro são um conjunto cujos elementos são obtidos após a multiplicação desse
número fixo por todos os números inteiros. Uma vez fixado um número inteiro e
multiplicando-o por todos os inteiros, formaremos um subconjunto desses
números, pois todo elemento desse conjunto dos múltiplos também é elemento do
conjunto dos números inteiros.
Múltiplos de um número inteiro
Considere dois números inteiros conhecidos,
p e q. O número p será múltiplo de q se, e somente se, existir um número
inteiro m, de forma que:
p = q · m
Dessa
forma, o conjunto dos múltiplos do número p pode ser obtido multiplicando-se p
por todos os números inteiros, os resultados dessa operação serão os múltiplos
de p.
Exemplo
Os 15
primeiros múltiplos de 3.
Para
determinar esse conjunto, basta multiplicar os 15 primeiros números inteiros
por 3.
3 · 1 = 3
3 · 2 = 6
3 · 3 = 9
3 · 4 = 12
3 · 5 = 15
3 · 6 = 18
3 · 7 = 21
3 · 8 = 24
3 · 9 = 27
3· 10 = 30
3 · 11 = 33
3 · 12 = 36
3 · 13 = 39
3 · 14 = 42
3 · 15 = 45
Assim, os 15
primeiros múltiplos de 3 são:
M(3)
= {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45}
Veja que encontramos somente os 15 primeiros múltiplos de
3. Como temos que multiplicar o 3 por todos os números inteiros, o
conjunto dos múltiplos é infinito.
Como verificar se um número é múltiplo de outro?
Para verificar
se um número é múltiplo de outro, devemos encontrar um número inteiro de tal
maneira que a multiplicação entre eles seja igual ao primeiro número. Veja:
Exemplos
a) Para
verificar se o número 110 é múltiplo de 11, devemos buscar um número inteiro,
que, multiplicado por 11, resulte em 110. Caso ele exista, o número 110 será
múltiplo de 11, caso contrário, não o será.
110 = 11 · 10
b) O número
143 é múltiplo de 12?
O número 143
não é múltiplo de 12, uma vez que:
132 = 12 · 11
144 = 12 · 12
Veja que
não existe número inteiro entre 11 e 12, logo, não existe número que, quando
multiplicado por 12, resulte em 143, portanto, o número 143 não é múltiplo de
12.
Exercício
resolvido
Questão 1 –
Escreva todos os números naturais menores que 100 e múltiplos de 15.
Resolução
Sabemos
que os múltiplos de 15 são os resultados da multiplicação do número 15 por
todos os inteiros. Como o exercício pede para escrever os números naturais
menores que 100 e múltiplos de 15, demos multiplicar o número 15 por todos os
números maiores que zero até encontrar o maior múltiplo antes de 100, assim:
15 · 1 = 15
15 · 2 = 30
15 · 3 = 45
15 · 4 = 60
15 · 5 = 75
15 · 6 = 90
15 · 7 = 105
Portanto, os
números naturais menores que 100 e múltiplos de 15 são:
M(15)={15, 30, 45, 60, 75, 90}
Divisores
de um número
Sejam a e b dois números inteiros conhecidos, vamos dizer
que b é divisor de a se o número b for múltiplo de a, ou seja,
a divisão entre b e a é exata (deve deixar resto 0).
Veja alguns exemplos:
→ 22 é múltiplo de 2, então, 2 é divisor de 22.
→ 63 é múltiplo de 3, logo, 3 é divisor de 63.
→ 121 não é múltiplo de 10, assim, 10 não é divisor de 121.
Para listar os divisores de um número, devemos buscar os
números que o dividem. Veja:
– Liste os divisores de 2, 3 e 20.
D(2) = {1, 2}
D(3) = {1, 3}
D(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
Observe que os números da lista dos divisores sempre são
divisíveis pelo número em questão e que o maior valor que aparece
nessa lista é o próprio número, pois nenhum número maior que ele será
divisível por ele.
Por exemplo, nos divisores de 30, o maior valor dessa lista
é o próprio 30, pois nenhum número maior que 30 será divisível por ele. Assim:
D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
Números
primos
Os números primos são
aqueles que possuem como divisor em sua listagem somente o número
1 e o próprio número. Para verificar se um número é primo ou não, um
dos métodos mais triviais é fazer a listagem dos divisores desse número. Caso
apareça números a mais que 1 e o número em questão, este não é primo.
→ Verifique quais são os números primos entre 2 e 20. Para
isso, vamos fazer a lista dos divisores de todos esses números entre 2 e 20.
D(2) = {1, 2}
D(3) = {1, 3}
D(4) = {1, 2, 4}
D(5) = {1, 5}
D(6) = {1, 2, 3, 6}
D(7) = {1, 7}
D(8) = {1, 2, 4, 8}
D(9) = {1, 3, 9}
D(10) = {1, 2, 5, 10}
D(11) = {1, 11}
D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
D(13) = {1, 13}
D(14) = {1, 2, 7, 14}
D(15) = {1, 3, 5, 15}
D(16) = {1, 2, 4, 16}
D(17) = {1, 17}
D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
D(19) = {1, 19}
D(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
Assim, os números primos entre 2 e 20 são:
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 e 19}
Observe que o conjunto é de alguns dos primeiros primos,
essa lista continua. Veja que quanto maior é o número, mais difícil torna-se
dizer se ele é primo ou não.
Exemplos:
O número de elementos do conjunto dos divisores primos de 60 é:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 10
Alternativa A
Inicialmente, listaremos os divisores de 60 e, em seguida,
analisaremos quais são primos.
D(60) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}
Desses números, temos que são primos os:
{2, 3, 5}
Portanto, a quantidade de números divisores primos de 60 é 3.